Хі |
---|
![Plot of the Chi PMF](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/35/Chi_distribution_PDF.svg/325px-Chi_distribution_PDF.svg.png)
|
Функція розподілу ймовірностей ![Plot of the Chi CMF](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/15/Chi_distribution_CDF.svg/325px-Chi_distribution_CDF.svg.png)
|
Параметри | (ступені свободи) |
---|
Носій функції | ![{\displaystyle x\in [0,\infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fdcab24f8202e4a37d346b76fd6a80edcddc03f) |
---|
Розподіл імовірностей | ![{\displaystyle {\frac {1}{2^{(k/2)-1}\Gamma (k/2)}}\;x^{k-1}e^{-x^{2}/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bf7f3f8c19d5fcb0fa9eaed7c8acc59075715b1) |
---|
Функція розподілу ймовірностей (cdf) | ![{\displaystyle P(k/2,x^{2}/2)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dcc9ec69b44a75d33cbd1b6e11e5d77a2341845) |
---|
Середнє | ![{\displaystyle \mu ={\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b3f75a3f9221fcf19d49bcfc650540bcbced7c4) |
---|
Медіана | ![{\displaystyle \approx {\sqrt {k{\bigg (}1-{\frac {2}{9k}}{\bigg )}^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b22f6cee5c388612e577139097b9effbef2aad9) |
---|
Мода | for ![{\displaystyle k\geq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d30d7dcf305b7bce39d36df72fe3985b47aa9961) |
---|
Дисперсія | ![{\displaystyle \sigma ^{2}=k-\mu ^{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72e24d929fe5092d74e8a0a46a6874975a2219c0) |
---|
Коефіцієнт асиметрії | ![{\displaystyle \gamma _{1}={\frac {\mu }{\sigma ^{3}}}\,(1-2\sigma ^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9518969a271deafd6aec3d93eb787c045570251f) |
---|
Коефіцієнт ексцесу | ![{\displaystyle {\frac {2}{\sigma ^{2}}}(1-\mu \sigma \gamma _{1}-\sigma ^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/727931a5947acb55f1e638c34862e9d853910479) |
---|
Ентропія | ![{\displaystyle \ln(\Gamma (k/2))+\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d10d5bcf76800e7afa268cfec2a4a26ecd8e546)
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}(k\!-\!\ln(2)\!-\!(k\!-\!1)\psi _{0}(k/2))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e03f22b29738586ec8f692f9f5ca30ea63bd171) |
---|
Твірна функція моментів (mgf) | Складна (див. текст) |
---|
Характеристична функція | Складна (див. текст) |
---|
У теорії ймовірностей та статистиці розподіл хі є неперервним розподілом ймовірностей. Це розподіл додатньої частини квадратного кореня з суми квадратів набору незалежних випадкових величин, кожна з яких має стандартний нормальний розподіл, або ж еквівалентно, розподіл евклідової відстані випадкових величин від початку координат. Таким чином, це пов'язано з розподілом хі-квадрат, описуючи розподіл додаткової частини квадратного кореня випадкової величини, що має розподіл хі-квадрат.
Якщо
-
незалежних, нормально розподіленмх випадкових величини із середнім значенням 0 та стандартним відхиленням 1, тоді статистика
![{\displaystyle Y={\sqrt {\sum _{i=1}^{k}Z_{i}^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40ae9e41824b71cfc9fdb90bd95c34bbe0d4d71f)
має розподіл хі. Розподіл хі має один параметр,
, яка визначає кількість ступенів свободи (тобто кількість
).
Найвідоміші приклади - розподіл Релея (розподіл хі з двома ступенями свободи ) та розподіл Максвелла – Больцмана молекулярних швидкостей в ідеальному газі (розподіл хі з трьома ступенями свободи).
Функція густини ймовірності (pdf) хі-розподілу записується
![{\displaystyle f(x;k)={\begin{cases}{\dfrac {x^{k-1}e^{-x^{2}/2}}{2^{k/2-1}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}},&x\geq 0;\\0,&{\text{інакше}}.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08e7e63d2ab4a79dac3ca30e0511bd215e7587a9)
де
є гамма-функція.
Функція розподілу задається:
![{\displaystyle F(x;k)=P(k/2,x^{2}/2)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d07710e84d794c10683a1f1e64a547b3d6b9e572)
де
- регуляризована гамма-функція.
Твірна функція моментів задається:
![{\displaystyle M(t)=M\left({\frac {k}{2}},{\frac {1}{2}},{\frac {t^{2}}{2}}\right)+t{\sqrt {2}}\,{\frac {\Gamma ((k+1)/2)}{\Gamma (k/2)}}M\left({\frac {k+1}{2}},{\frac {3}{2}},{\frac {t^{2}}{2}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd815ae0288a622cd7ad438353f86c2c9fec0c2a)
де
є зливною гіпергеометричною функцією Куммера. Характеристична функція задається:
.
Початкові моменти задаються:
![{\displaystyle \mu _{j}=\int _{0}^{\infty }f(x;k)x^{j}dx=2^{j/2}{\frac {\Gamma ((k+j)/2)}{\Gamma (k/2)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c8b6630d830b42da838d80d2db222bdf8ccae04)
де
є гамма-функція. Одже, перші кілька моментів:
![{\displaystyle \mu _{1}={\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma ((k\!+\!1)/2)}{\Gamma (k/2)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cbbfac99f4a14a71dbd02af41b1720dfb8aef3f)
![{\displaystyle \mu _{2}=k\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aad8c53586426c37a6bdec2b5c3b37ef762c94c)
![{\displaystyle \mu _{3}=2{\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma ((k\!+\!3)/2)}{\Gamma (k/2)}}=(k+1)\mu _{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90cdc076198849f47b523c4abae78b459c7d1811)
![{\displaystyle \mu _{4}=(k)(k+2)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/253046d39e20140e616835a9a4eecacd2af1d52e)
![{\displaystyle \mu _{5}=4{\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma ((k\!+\!5)/2)}{\Gamma (k/2)}}=(k+1)(k+3)\mu _{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/610a5c6681a5c03f9df5af6140f267cea62ab460)
![{\displaystyle \mu _{6}=(k)(k+2)(k+4)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a42f78540e4b0a41dba18c5910001ca02415408)
де найправіші вирази виводяться за допомогою рекуренткого відношення гамма-функції:
![{\displaystyle \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3af9765e5fbdd31e3ed649cd3d93f039e415fe82)
З цих виразів ми можна вивести наступні співвідношення:
Середнє:
Дисперсія:
Асиметрія:
Компенсований ексцес:
Ентропія задається рівнянням:
![{\displaystyle S=\ln(\Gamma (k/2))+{\frac {1}{2}}(k\!-\!\ln(2)\!-\!(k\!-\!1)\psi ^{0}(k/2))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/620e6659f92f27d8dc036987fbd8337c62f9bb88)
де
- функція полігамми .
Виведемо формули наближень середнього та дисперсії розподілу хі для великих n = k + 1. Вони мають практичне застосування, наприклад, для пошуку розподілу середньоквадратичного відхилення вибірки нормально розподіленої сукупності, де n - обсяг вибірки.
Тоді середнє значення:
![{\displaystyle \mu ={\sqrt {2}}\,\,{\frac {\Gamma (n/2)}{\Gamma ((n-1)/2)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2597377e111a568e3419538911f69f8d7f8a67d6)
Застосувавши формулу дублювання Лежандра можемо подати:
,
тож:
![{\displaystyle \mu ={\sqrt {2/\pi }}\,2^{n-2}\,{\frac {(\Gamma (n/2))^{2}}{\Gamma (n-1)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a67e1e2fdb3fa2b31ffe100df7694439c38a8a0e)
Використовуючи наближення Стірлінга для гамма-функції, отримаємо наступний запис середнього:
![{\displaystyle =(n-2)^{1/2}\,\cdot \left[1+{\frac {1}{4n}}+O({\frac {1}{n^{2}}})\right]={\sqrt {n-1}}\,(1-{\frac {1}{n-1}})^{1/2}\cdot \left[1+{\frac {1}{4n}}+O({\frac {1}{n^{2}}})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f3e1534e28ac6e9276477260c929f0fa2072a4e)
![{\displaystyle ={\sqrt {n-1}}\,\cdot \left[1-{\frac {1}{2n}}+O({\frac {1}{n^{2}}})\right]\,\cdot \left[1+{\frac {1}{4n}}+O({\frac {1}{n^{2}}})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f137a4f4c36c6d1a3e6e133d9ea9c8cf4cc3cfa)
![{\displaystyle ={\sqrt {n-1}}\,\cdot \left[1-{\frac {1}{4n}}+O({\frac {1}{n^{2}}})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16110f5e6cee819cf7ce548062a398bcf57f7eac)
Отже, дисперсія задається:
![{\displaystyle V=(n-1)-\mu ^{2}\,=(n-1)\cdot {\frac {1}{2n}}\,\cdot \left[1+O({\frac {1}{n}})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5610836c34d335011ebc02dc4ee6ec6753aac429)
- Якщо
тоді
(розподіл хі-квадрат)
(Нормальний розподіл) - Якщо
тоді ![{\displaystyle |X|\sim \chi _{1}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8084781802abfb2ba2d24a03cb6814f2177d8c0f)
- Якщо
тоді
(напівнормальний розподіл) для будь-якого ![{\displaystyle \sigma >0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a93bb4226a217819f9ef0467fbb3d47279a7910)
(Розподіл Релея)
(Розподіл Максвелла)
(2-норма
стандартним нормально розподіленим змінним є розподіл хі з
ступені свободи) - розподіл хі - це окремий випадок узагальненого гамма розподілу або розподілу Накагамі або нецентрального розподілу чі
- Середнє значення розподілу хі (масштабоване квадратним коренем з
) дає корегувальний коефіцієнт для незміщеної оцінки середньоквадратичного відхилення нормального розподілу.
Різні хі та хі-квадрат розподіли Name | Statistic |
Розподіл хі-квадрат | |
Нецентрований хі-квадрат розподіл | |
Розподіл хі | |
Нецентрований хі розподіл | |
|
---|
| | | Дискретні одновимірні зі скінченним носієм | |
---|
| Дискретні одновимірні з нескінченним носієм | |
---|
| Неперервні одновимірні з носієм на обмеженому проміжку | |
---|
| Неперервні одновимірні з носієм на напів-нескінченному проміжку | |
---|
| Неперервні одновимірні з носієм на всій дійсній прямій | |
---|
| Неперервні одновимірні з носієм змінного типу | |
---|
| Змішані неперервно-дискретні одновимірні | |
---|
| Багатовимірні (спільні) | |
---|
| Напрямкові | |
---|
| Вироджені та сингулярні[en] | |
---|
| Сімейства | |
---|
|