Beta Negative Binomial |
---|
Параметри | форма (дійсний)
дійсний (real) — число успіхів до зупинки експерименту (ціле, але можна розширити на дійсні числа) |
---|
Носій функції | ![{\displaystyle k\in \{0,1,2,\ldots \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8eb35fee530f159c49680d3b6ee3cf1c5cb16e67) |
---|
Розподіл імовірностей | ![{\displaystyle {\frac {\mathrm {B} (r+k,\alpha +\beta )}{\mathrm {B} (r,\alpha )}}{\frac {\Gamma (k+\beta )}{k!\;\Gamma (\beta )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e3fadbd82549bf3c1d92a441020fa1641f9a4fe) |
---|
Середнє | ![{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {r\beta }{\alpha -1}}&{\text{якщо}}\ \alpha >1\\\infty &{\text{інакше}}\ \end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee1c187ff071b206764e267c94404e7dde55d456) |
---|
Дисперсія | ![{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {r(\alpha +r-1)\beta (\alpha +\beta -1)}{(\alpha -2){(\alpha -1)}^{2}}}&{\text{якщо}}\ \alpha >2\\\infty &{\text{інакше}}\ \end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df8346e94f76cee7f82ab9eb52a88dcb14cd4c7e) |
---|
Коефіцієнт асиметрії | ![{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {(\alpha +2r-1)(\alpha +2\beta -1)}{(\alpha -3){\sqrt {\frac {r(\alpha +r-1)\beta (\alpha +\beta -1)}{\alpha -2}}}}}&{\text{якщо}}\ \alpha >3\\\infty &{\text{інакше}}\ \end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d66ad3459ccfe94c95e07884da00f1966b50b37c) |
---|
Твірна функція моментів (mgf) | не існує |
---|
Характеристична функція | де — гамма-функція і — гіпергеометрична функція. |
---|
У теорії ймовірностей бета-негативний біноміальний розподіл є розподілом ймовірностей дискретної випадкової величини
, що дорівнює кількості відмов, необхідних для отримання
успіхів в серії незалежних випробувань Бернуллі. Ймовірність
успіху в кожному випробуванні залишається незмінним у межах будь-якого експерименту, але змінюється в різних експериментах згідно бета-розподілу. Отже, розподіл є складеним розподілом ймовірностей.
Цей розподіл також називають зворотним розподілом Маркова-Пойя та узагальненим розподілом Варінга[1]. Зміщену форму розподілу називають бета-розподілом Паскаля[1].
Якщо параметри бета-розподілу є
і
, і якщо
![{\displaystyle X\mid p\sim \mathrm {NB} (r,p),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d656c4c0c375fa17f129fa608749a7f59238f53)
де
![{\displaystyle p\sim {\textrm {B}}(\alpha ,\beta ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56f1e575c7f711a315ff0145ba5dbdf5185c3ded)
тоді граничний розподіл
має бета-негативний біноміальний розподіл:
![{\displaystyle X\sim \mathrm {BNB} (r,\alpha ,\beta ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/737361795a433af8e93ffb5adc06082ce43ef739)
У наведеному вище,
є від’ємним біноміальним розподілом і
є бета-розподіл.
Якщо
— ціле число, тоді функцію ймовірностей можна записати через бета-функцію:
.
Узагальнюючи можна записати
![{\displaystyle f(k|\alpha ,\beta ,r)={\frac {\Gamma (r+k)}{k!\;\Gamma (r)}}{\frac {\mathrm {B} (\alpha +r,\beta +k)}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c64110c4d9e78d4c4610ceaab50639dec57ae81)
або
.
Функція ймовірностей, виражена через гамма функцію
[ред. | ред. код] Використовуючи властивості бета-функції, функція ймовірності для цілого
можна переписати наступним чином:
.
У більш загальному вигляді можна записати
.
Функція ймовірностей часто також можна подати в термінах символів Похамера для цілого числа
![{\displaystyle f(k|\alpha ,\beta ,r)={\frac {r^{(k)}\alpha ^{(r)}\beta ^{(k)}}{k!(\alpha +\beta )^{(r+k)}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75c7046239233250493272b7a3305d88c679c0d4)
Бета-негативний біноміальний розподіл є неідентифіковним, що можна легко помітити, просто міняючи місцями
і
у наведеній вище функції ймовірності чи характеристичній функції та відзначити, що вони незмінюються. Отже, оцінка вимагає встановлення обмежень на котрийсь з параметрів
,
або й на обидва.
Бета-негативний біноміальний розподіл містить бета-геометричний розподіл як окремий випадок, коли
. Тому він може як завгодно добре апроксимувати геометричний розподіл. Він також дуже добре апроксимує негативний біноміальний розподіл для великих
і
. Тому він може як завгодно добре апроксимувати розподіл Пуассона для великих
,
і
.
За допомогою наближення Стірлінга бета-функції можна легко показати, що для великих
![{\displaystyle f(k|\alpha ,\beta ,r)\sim {\frac {\Gamma (\alpha +r)}{\Gamma (r)\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}{\frac {k^{r-1}}{(\beta +k)^{r+\alpha }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c63c2fb02874ecefc27cc03630014c87f504cdba)
це означає, що бета-негативний біноміальний розподіл має важкі хвости і що моменти менші або рівні
не існують.
Бета-геометричний розподіл є важливим окремим випадком бета-негативного біноміального розподілу, що виникає при
. У цьому випадку функція ймовірності спрощується до
.
Цей розподіл використовується в моделях Buy Till You Die (BTYD).
Далі, коли
бета-геометричний розподіл зводиться до розподілу Юля-Саймона. Однак більш поширеним є означення розподілу Юля-Саймона в термінах зміщеної версії бета-геометричного розподілу. Зокрема, якщо
потім
.
- ↑ а б Johnson et al. (1993)
- Johnson, N.L.; Kotz, S.; Kemp, A.W. (1993) Univariate Discrete Distributions, 2nd edition, Wiley ISBN 0-471-54897-9 (Section 6.2.3)
- Kemp, C.D.; Kemp, A.W. (1956) "Generalized hypergeometric distributions, Journal of the Royal Statistical Society, Series B, 18, 202–211
- Wang, Zhaoliang (2011) "One mixed negative binomial distribution with application", Journal of Statistical Planning and Inference, 141 (3), 1153-1160 DOI:10.1016/j.jspi.2010.09.020
|
---|
| | | Дискретні одновимірні зі скінченним носієм | |
---|
| Дискретні одновимірні з нескінченним носієм | |
---|
| Неперервні одновимірні з носієм на обмеженому проміжку | |
---|
| Неперервні одновимірні з носієм на напів-нескінченному проміжку | |
---|
| Неперервні одновимірні з носієм на всій дійсній прямій | |
---|
| Неперервні одновимірні з носієм змінного типу | |
---|
| Змішані неперервно-дискретні одновимірні | |
---|
| Багатовимірні (спільні) | |
---|
| Напрямкові | |
---|
| Вироджені та сингулярні[en] | |
---|
| Сімейства | |
---|
|